FERMAT

En una Ecuación Generalizada de las supercherías de Fermat

Trad. LACG

Steven Finch, Investigación y Equipo de Desarrollo, MathSoft, Inc.

El Último Teorema de Fermat no fue más que una conjetura durante más de 350 años. Permite a n ser un entero mayor que 2. Fermat exigió que cualquier entero x, y y z, no necesariamente positivo, para que:

Xn + Yn = Zn

debe satisfacer por consiguiente x.y.z = 0. el logro espectacular de Andrew Wiles basado en el trabajo de Kenneth Ribet y otros y era demostrar más allá de cualquiera duda que la conjetura de Fermat es verdad.

A algunas personas, el pasaje de esta conjetura al theoremhood es marcado a través de tristeza. Ellos pueden creer equivocadamente que ninguna otra ecuación de Diophantine queda. Este ensayo se apunta a tales individuos: hay una clase muy grande de ecuaciones de Las Fermat-supercherías son sólo un caso especial que merece la pena. ¡atención!

La ecuación que nosotros examinaremos es

Xn + Yn = Zn

donde c es un entero positivo. Nosotros deseamos aprender qué condiciones en n y c fuerzan la existencia de una solución no-trivial (x, y, z), es decir, x.y.z 0 0. En otras palabras, cuando es la ecuación Xn + Yn = cZn soluble (en enteros del nonzero)? El caso n=1 es fácil: tomando x=y=c y z=2, nosotros siempre concluimos ese soluciones no-triviales existen. El caso n=2 es algo más difícil. Permita que c denote la parte cuadrado-libre de c, es decir, el divisor de c del que persigue el resultado todos los factores la forma d2 se ha eliminado. La ecuación Xn + Yn = cZn

es soluble si y sólo si todos los primeros factores impares de que c es igual a 1 modulo 4. (Vea Robusto y Wright's[1] la discusión de Guerrear problema para una prueba.) Aquí están varios de los primeros valores de c para que esta condición se sostenga:

1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50,...

La sucesión infinita de todos los enteros tales que c puede mostrarse para ser favorablemente pariente esparcido a la sucesión de enteros positivos. Por la densidad

[ N] de la c-sucesión en el intervalo [1, N], nosotros queremos decir el cardinal de c-valores que no exceden N, dividido por N. que puede demostrarse, eso

lim

y, más precisamente,

lim

donde k = 0, 764223653 es conocido como la constante de Landau-Ramanujan.

El caso n = 3 es donde las cosas empiezan poniéndose bastante difícil. Observe esto antes, nosotros pudimos reducir el problema a examinar una cierta condición del congruencia equivalente. Para n > 3, yo no sé sobre la existencia de condiciones de las congruencias equivalentes. Sylvester y Pepin descubrió un juego complicado de condiciones suficientes para trivialidad que Selmer[2] y otros se extendieron. Aquí es la sucesión de c-valores para que la ecuación x3 + y3 = z3 sea soluble, obtuvo por una variedad de métodos ([2]):

2, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 26, 28,,,

30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 48, 49, 50,...
El hecho que 1 no está en esta sucesión fue demostrado primero a través de Euler([3]). Subsecuentemente nuestra comprensión de la sucesión está tan limitada, una precisa estimación de su densidad del asymptotic no es posible. Con toda seguridad los valores de c, pueden dibujarse conclusiones más fuertes. Si c = 2, por ejemplo, él necesariamente sigue ([10,27]) que x = y o x = -y. Uno debe ser cuidadoso al repasar la literatura: las frases "soluciones triviales" y a veces podrían usarse diferentemente "solvability" que nosotros tenemos aquí.

Más puede decirse del caso n = 4 desde que cualquier solución de deba satisfacer . Así la c-sucesión aquí es incluido como un apropiada subsecuencia de la c-sucesión que corresponde a n = 2 (para que también tiene ponga a cero densidad del asymptotic). Fermat([3]) fue el primero en demostrar que la sucesión empieza con 2 (el único caso especial él examinó de su famoso conjeture, hasta donde nosotros sabemos). Bremner y Morton[4] que él obtuvo la sucesión es:

2, 17, 32, 82, 97, 162, 257, 272, 337, 512, 626, 641, 706, 881, 1250,,,,
1297, 1312, 1377, 1552, 1921, 2402, 2417, 2482, 2592, 2657, 3026, 3697,,,
4097, 4112, 4177, 4352, 4721, 4802, 5392, 5906,…

y que es el menor expressible del entero como la suma de dos cuartos poderes racionales pero no como la suma de dos entero cuartos poderes. El caso n = 6 es igualmente muy esparcido desde que se contiene como una subsecuencia apropiada de ambas c-sucesiones que corresponden a n = 2 y n = 3.
Dirichlet y Legendre([3]) fue el primero en demostrar que la c-sucesión para n = 7 las salidas con 2; el mismo para [la Imagen] se demostró primero por Lamé y Kummer([3]). Para ambos n = 5 y n = 7, Dénes[5] confirmó que si c = 2 entonces x=y o x=-y debe seguir (resolviéndose dos conjeturas en [6] - vea la Posdata debajo para una actualización adelante más grande n). David Wilson ha sugerido que la c-sucesión para n= 5 es:

2, 31, 33, 64, 211, 242, 244, 275, 486, 781, 992, 1023, 1025, 1056,,,
1267, 2048, 2101, 2882, 3093, 3124, 3126, 3157, 3368, 4149, 4651, 6250,,,
6752, 7533, 7744, 7775, 7777, 7808, 8019, 8800, 9031, 10901, 13682,,,
15552, 15783, 15961, 16564, 16775, 16806, 16808, 16839, 17050, 17831,,
19932, 24583, 24992, 26281, 29643, 31744, 32525, 32736, 32767, 32769,,
32800, 33011, 33614, 33792, 35893, 40544, 40951, 42242, 49575, 51273,,
55924, 58025, 58806, 59017, 59048, 59050, 59081, 59292, 60073, 61051,,
62174, 65536, 66825, 67232, 68101,...

y que es el menor expressible del entero como la suma de dos quintos poderes racionales pero no como la suma de dos entero quintos poderes. Hasta donde yo sé, éste sigue siendo unproved. Wilson ha encontrado que
parece no ser la suma de dos entero sextos poderes y parece
para no ser la suma de dos entero séptimos poderes. Él también se pregunta si la expresión

nunca es la suma de dos nth del entero impulsa para cualquier impar . Claramente
es un entero para cualquier tal n.

El logro de supercherías era mostrar que el primer término de la c-sucesión para cada n> 3 necesariamente es 2 (no 1). Muy pocas otras declaraciones de tal generalidad se ha demostrado. Por ejemplo, nosotros conjeturamos eso los próximos diecinueve términos de la c-sucesión para cada igual n > 4 es:

y que los próximos veintitrés términos de la c-sucesión para cada impar n > 5 es:

Una comprobación empezaría quizás con la proposición siguiente de Serre[7], la verdad de que está arraigado en la prueba de Supercherías del teorema de Taniyama-Shimura-Weil semi-estable. Si p > 11 es un primer numero, c es un poder de uno del imprima perteneciendo al juego {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53, 59} pero c no es un poder de p, entonces la ecuación es insoluble. Yo recojo que la mayoría teórico del número crea la restricción p > 11 puede descansarse a p > 5, pero una prueba de esta creencia no es conocido.

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Postscript

Kenneth Ribet contestó muy amablemente a una pregunta de sci.math.research de mine, señaló Dénes' [5] la solución, y entonces agregó:

El problema de resolverse x^n+y^n=c*z^n se pone más difícil, sin embargo, si usted toma un primero número grande n en lugar de 5 o 7 (y guarda c=2).

En su 1987 papel de Periódico de Duque, muestras de Serre que la curva elíptica
métodos que se resolvieron el problema de Fermat vertieron luz adelante tal
ecuaciones. Serre da una lista de primeros números que pueden tomarse
como "c"--para aquéllos, no hay ninguna solución en no-ceros x, y, y
z cuando n es un primero ningún menos de 11 y n es diferente de c. Serre
primeros números "c" son todos impar, y ellos llevan al semistable elíptico
curvas. La opción c=2 primacías a un no-semistable la curva. También es
diferente en carácter porque el x^n de la ecuación + el y^n = 2*z^n hacen
¡tenga no-ceras soluciones, a saber aquéllos con x=y=z!

Hace varios años, yo recibí una carta de un matemático del aficionado
sobre las tales ecuaciones. Yo escribí un artículo que aparecerá (algún día)
en Acta Arithmetica. Un lo abstracto puede recogerse vía el URL
http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0021/index.html.
Básicamente, yo demuestro ese x^n + el y^n = 2*z^n tienen sólo el obvio

no-ceras soluciones cuando n es congruente a 1 mod 4. Mis métodos son
bastante mucho igual que aquéllos introducidos previamente por H. Darmon
para tratar con algunas otras ecuaciones de Diophantine.

En un reciente preprint, Darmon y L. Merel se tratan del caso donde
n es congruente a 3 mod 4 y demuestra por eso para todos impar imprima n
que las únicas no-ceras soluciones al x^n + el y^n = 2*z^n son el
evidente con x=y=z. Este teorema se resuelve un problema que
¡ha sido por lo menos de interés desde el 17 siglo! Usted puede
recoja el preprint (posdata o dvi estructuran) a
http://www.math.jussieu.fr/~merel/Recherche.html.

Ribet de -conocimiento

Nosotros también tenemos Darmon y Granville's[8] el resultado: dado no-cero entero
coeficientes un, b, c y exponentes del entero positivos i, j, k satisfaciendo,

la ecuación [la Imagen] tiene a lo sumo finitamente muchos entero del coprime soluciones (x, y, z). Éste es un subproducto del teorema de Falting (La conjetura de Mordell). UN caso especial en el que a=b=c=1 eran recientemente publicado en [21]. Más puede decirse si nosotros asumimos la verdad del (todavía el unproved) la abc-conjetura: la ecuación no puede tener más que dos tales soluciones para el n>M (independiente de un, b, c) y tiene no soluciones para el n>N(a,b,c). Vea, por ejemplo, Granville[9].

Lo que pasa si nosotros aumentamos el número de términos en el lado de la izquierdo-mano
¿de la ecuación del original de Fermat? Se sorprenden a menudo personas para ver el resultado clásico

33 + 43 + 53 = 63,

así como Norrie (1911) el resultado

304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534,

Lander y Parkin (1966) el resultado

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445,

y Elkies y Frye (1988) el resultado

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814

Vea [1,23-25] para más detalles. Tom Womack lanzó un esfuerzo recientemente para estudiar el quinto caso del orden más intensivamente, pero no encontró algo más allá de Lander y el ejemplo de Parkin. Sexto orden y más alto los órdenes permanecen abiertos.

Roland Quême ha sometido un manuscrito ([26]); sus resultados se extienden a
la ecuación .

Si los rumores de una prueba del Taniyama-Shimura-Weil teorema sostenimiento lleno
verdadero ([28-31]), esto sostendrá muchos beneficios para la teoría del número, ej.,
[32].

Referencias

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12. J. M. Gandhi, Generalizado el último teorema de Fermat y regular
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15. C. Daney, Matemática del Último Teorema de Fermat.
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